miércoles, 3 de noviembre de 2010

Distancias

Determinar la recta que pasa por dos puntos A B pertenecientes a dos rectas (en el dibujo en color azul y verde) y la verdadera magnitud del segmento que determinan (en el dibujo aparece en color marrón, y sobre el plano del cuadro su perspectiva aparece en color rojo).
Las dos rectas en color verde y azul están determinadas en la perspectiva por sus trazas y sus puntos límites, y sobre ambas existen dos puntos A B que los unimos determinando el segmento del que se quiere calcular su magnitud. Los dos puntos también determinan la recta que pasa por ellos, de la que se quiere calcular su traza y su punto de fuga o punto límite.




Tenemos los datos en el alzado de color amarillo en perspectiva cónica, las rectas (en color verde y azul) definidas por sus puntos límites y trazas. Representamos un perfil a la derecha para obtener las proyecciones ortogonales de los elementos y para calcular los detalles del ejercicio.
De las rectas azul y verde dadas en perspectiva sobre el plano amarillo obtenemos su representación espacial en el perfil (sobre el plano blanco a la derecha) pasando por el punto de vista una recta hasta el punto límite de cada una, que hemos proyectado previamente sobre el plano del cuadro.
Proyectamos también las trazas sobre el plano del cuadro en el perfil y por ambas hacemos paralelas a la dirección que acabamos de hacer, la determinada por el punto de vista y el punto límite. De esta forma hemos calculado las proyecciones de las rectas en el perfil, y sobre ellas proyectamos los puntos de las perspectivas de las rectas A’ B’, ambos sobre el plano del cuadro. Alineando éstos puntos con el punto de vista V obtenemos en la prolongación de estas líneas los puntos en el perfil A B. El segmento que une estos puntos lo prolongamos hasta obtener en la intersección con el plano del cuadro la traza de la recta Tr y por el punto de vista hacemos una paralela a esta línea hasta que corta al plano del cuadro en el punto límite L’r. De esta forma hemos calculado la traza y punto límite de la recta r que proyectamos sobre la perspectiva, en el cuadro amarillo de la izquierda.




En el dibujo podemos observar la combinación del segmento en perspectiva en color rojo y su proyección ortogonal sobre el plano del cuadro, con su representación en alzado en color marrón. Podemos observar también en el dibujo que, obviamente, como el segmento rojo es la perspectiva del segmento marrón, los puntos están alineados con la proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro, esto es, con el punto principal.
Si un segmento en el espacio tiene cada uno de sus puntos alineados con los respectivos de su perspectiva y con el punto de vista, al proyectar todos los elementos sobre un plano en proyección ortogonal, como el alzado del sistema diédrico, tenemos que esas alineaciones se mantienen.
Tenemos además que al unir el punto de vista con el punto límite obtenemos una recta que es paralela a la recta del espacio, y cuya perspectiva pasa por los dos puntos de corte de las dos rectas anteriores con el plano del cuadro. Si esto sucede en el espacio como vemos en el perfil de la perspectiva, de la misma forma también al proyectar estas tres líneas sobre el plano del cuadro, tenemos que la que pasa por el punto principal y el punto límite de la recta es siempre paralela a la recta del espacio.






Una vez que hemos calculado el segmento que pasa por los puntos y la traza y punto límite de la recta d que lo contiene, sólo queda hacer un plano g que contenga a esta recta y abatirlo. Para ello pasamos por el punto límite de la recta y por su traza dos líneas paralelas que son respectivamente la recta límite del plano l’g y la traza del plano tg que la contiene.
Al abatir el plano observamos que la recta abatida es paralela a la recta que pasa por el punto de vista abatido (V) y el punto límite de la recta L’d. Alineando los dos puntos A’ B’ con el punto de vista abatido obtenemos en la prolongación de esta rectas los puntos abatidos (A) (B) en la intersección con la recta abatida.













Para calcular la distancia de un punto a un plano azul se hace la recta a perpendicular al mismo desde ese punto y se calcula la intersección de la recta a con el plano azul. La distancia r del punto de intersección con el plano al punto de la recta dado es la distancia entre el punto y el plano. A continuación hay que abatir esa recta a definida por los 2 puntos, los correspondientes al segmento r, para obtener su verdadera magnitud.
Tenemos un plano azul definido por su traza tg y su recta límite l’g y tenemos un punto de una recta del que se quiere calcular su distancia al plano, por el que hacemos una recta r perpendicular al plano, la distancia del punto al plano la marcamos en color ocre y viene determinada por el segmento r. La perspectiva de este segmento la obtenemos en la intersección de los dos rayos visuales que pasan por el punto de vista con la perspectiva de la recta a, esto es a’. Para hacer el abatimiento de esta recta r tenemos que abatir el plano rojo que la contiene (uno cualquiera que pasa por ella), por lo que el plano perpendicular a la recta límite de este plano que pasa por V define el punto de intersección T como centro del giro para el abatimiento. Tomando la distancia como radio TV obtenemos en el abatimiento el punto de vista (V’). Uniendo este punto de vista abatido con el punto límite de la recta L’a tenemos la dirección de la recta abatida, basta con hacer por la traza de la recta Ta una paralela a ella y alinear los extremos del segmento r’ con el punto de vista abatido (V’) hasta que corte al abatimiento de la recta a’ generando la verdadera magnitud del segmento que es (r).




Aquí tenemos el ejercicio resuelto en proyección central o perspectiva cónica combinando la resolución con la proyección ortogonal de los elementos.
Se trata de calcular la distancia de un punto W’ a un plano g.
Para calcular la distancia del punto W’ al plano azul se pasa una recta perpendicular a por el punto hasta que corte al plano. El punto límite de la recta L’a y la recta límite del plano l’g se corresponderán en la antipolaridad respecto al círculo de distancia, por ser ambos elementos perpendiculares.
Hacemos un plano de color rojo s que contenga la recta a y calculamos la intersección con el plano azul. La intersección del plano rojo s y el plano azul g es la recta m. La intersección de esta recta m con la dada a es el punto de intersección D de la recta a. La distancia del punto W’ al punto D’ es la distancia del punto al plano.
Si abatimos esta recta, alineando los extremos de la misma con el punto de vista abatido (V’) obtenemos en la intersección con la abatida el segmento WD en verdadera magnitud (r).

Algunas consideraciones:
Si tenemos que la magnitud del segmento r la tenemos en el alzado, al hacer un plano rojo que contiene a la recta a por pasar por la traza y punto límite de ella, tenemos que la perspectiva de la recta está definida por su traza Ta y su fuga o punto límite L’a.
Alineando V con el segmento r tenemos que la perspectiva del segmento va a quedar acotada entre estos dos segmentos. Para obtener los extremos de ese segmento en perspectiva hacemos un abatimiento del punto de vista respecto al plano rojo, de esta manera obtenemos (V’) para obtener este punto hacemos por V una recta paralela V-(V) a la recta límite del plano rojo L’s, obteniendo en la intersección con el círculo de distancia el punto (V).
Si por V hacemos una recta h perpendicular a la recta límite l’s y en la intersección T con esta hacemos un arco de radio T-(V) obtenemos en la intersección de h y el arco el punto de vista abatido (V’). La dirección (V’)-L’a determina la dirección de la recta a abatida, que trazamos por la traza de la recta a, Ta.
Si tenemos la perspectiva de la recta a’ con su traza Ta y su punto de fuga L’a, para determinar la proyección ortogonal de la misma a, alineamos la proyección ortogonal del punto de vista o centro de proyección V sobre el plano del cuadro (esto es, el punto principal) con el punto límite de la recta L’a. Haciendo por la traza de la recta Ta una paralela a la línea que une el punto de vista con el punto límite, tenemos la proyección ortogonal de la recta a.
Uniendo el punto de vista abatido (V) con el punto de intersección T de la perpendicular a la recta límite l’s que pasa por el punto principal V, tenemos la dirección del plano abatida. Esto quiere decir que el ángulo que forma la línea VT y la línea T (V) es en realidad el ángulo que forma el plano s con el plano del cuadro.






Cálculo de la distancia entre dos rectas a c que se cruzan y son perpendiculares. Para calcular la distancia entre dos rectas ortogonales que se cruzan, podemos hacer un plano perpendicular g a una de ellas a y que al mismo tiempo contenga a la otra c. La recta b perpendicular común a ambas es la distancia entre ellas.
Para hacer el plano perpendicular a una de ellas y que al mismo tiempo contenga la otra, tendrá que darse el caso de que los elementos límites de la recta y el plano se correspondan en la antipolaridad respecto al círculo de distancia. Además el plano perpendicular a la recta a contiene a la recta c, eso quiere decir que la traza de la recta Tc y su punto límite L’g deben estar sobre el plano g, esto es, sobre la traza tg y la recta límite del plano l’g.
La recta perpendicular común a ambas b, es una recta que contiene el plano g, por lo que la traza y punto límite de la recta están sobre la traza y recta límite del plano. Como esta recta b corta a la recta c por estar las dos en el mismo plano g, las trazas de ambas y los puntos límites de ambas estarán sobre dos rectas paralelas respectivamente, que en este caso es el plano g. En el abatimiento del punto de vista se observa que ambas rectas son perpendiculares.



Para calcular la distancia entre las dos rectas a c, hacemos una recta que pase por la proyección del punto de vista V o punto principal y otra recta que pase por el punto límite de la recta c, L’c. Éstas dos rectas deben ser perpendiculares entre sí (l´g y L’a-V), la recta l’g que pasa por el punto límite L’c es la antipolar del punto límite de la recta a, L’a.
El plano g perpendicular a la recta a debe tener su traza incidente en la traza de la recta c, y la nueva recta perpendicular b que hacemos a esta, debe ser tal que la traza de la misma Tb esté alineada con la traza de la anterior Tc, de igual forma a su punto límite L’b alineado con el punto límite de la recta anterior L’a, de manera que ambas tienen sus trazas y puntos límites sobre la traza y recta límite del plano g que las contiene.
Para que esta recta c sea perpendicular al anterior b, debemos abatir el punto de vista V y observar la dirección que tienen entre sí, para ello por el punto de vista abatido (V) hacemos una recta perpendicular a la recta abatida.



Como trabajamos la perspectiva conjuntamente con las proyecciones ortogonales de los elementos, para calcular la distancia entre las dos rectas a c, hacemos por el punto de intersección de las rectas a b, una paralela s a la recta dada c hasta obtener la traza Ts.
Por la dirección de las dos líneas de color rosa que pasan por el punto de vista abatido (V) tenemos que ambas forman 90°, por lo que por la traza de la recta Ts haremos una paralela (s) a la recta dada (c) obteniendo en la intersección con la perspectiva abatida de la recta (b) la distancia real entre las dos rectas, que en el dibujo aparece de color rojo (la distancia ya abatida entre a c en verdadera magnitud) y en color verde la proyección ortogonal b dentro de la perspectiva.

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