Fundamento de la perspectiva cónica

La perspectiva cónica es un método de representación que se fundamenta en la aplicación práctica de la proyección central.
http://proyeccion-central-conica.blogspot.com/

http://proyeccion-central-dinamica.blogspot.com.es/

Un punto es el centro de proyección o punto de vista a partir del cual se trazan rayos proyectantes dirigidos a todos los vértices de la figura. Estos imaginarios rayos visuales o rayos proyectantes interceptan en su trayectoria a un plano llamado de cuadro, que coincide con el del dibujo. Sobre este plano del cuadro queda definida la imagen perspectiva de la figura, por lo que ésta es la intersección de todos los rayos proyectantes con dicho plano. La perspectiva cónica o lineal es una aproximación a lo que el ojo ve, pero con diferentes deformaciones según su posición y alejamiento.
La perspectiva cónica de un punto no es suficiente para definir su posición en el espacio, la forma de determinarlo será mediante la perspectiva de dos rectas o de una recta que lo contenga definida por su traza y fuga.

En una perspectiva lineal o cónica intervienen varios elementos: el plano del cuadro que es un plano vertical entendido de forma práctica como transparente y a través del que se proyectan los vértices de la figura representada desde un punto de vista o centro de proyección. El plano del cuadro es el plano del dibujo sobre el cual se construye la perspectiva de una figura.

El plano del suelo llamado plano geometral es el plano de apoyo horizontal perpendicular al plano del cuadro, en la práctica se considera que es el plano sobre el que se sitúa el observador.

Los planos geometral y de cuadro se cortan según una línea llamada línea de tierra.

El plano del horizonte es aquel que pasa por el punto de vista y corta al plano del cuadro según una línea que llamamos línea del horizonte.

Un plano vertical paralelo al plano del cuadro que pase por el punto de vista se le llama plano de desvanecimiento. Si el plano geometral fuera transparente y el observador se situara apoyado sobre el plano del cuadro, el plano de desvanecimiento sería el equivalente al plano del horizonte, determinando una línea de desvanecimiento en su intersección con el plano geometral.

La altura del observador se obtiene haciendo por el punto de vista una perpendicular al plano geometral, ésta es la posición del ojo respecto al plano del suelo.

La distancia del punto de vista al plano del cuadro, se llama distancia principal y su proyección sobre el plano del cuadro, denotada por el punto P, se le llama punto principal; está perpendicular pasa por el plano del horizonte y su punto principal P siempre está sobre la línea del horizonte.


Representación de rectas

Representación de una recta vertical.



Una recta perpendicular al plano del cuadro y un punto M de la misma. La recta queda representada por dos puntos, la traza y la fuga de la misma. Para obtener la fuga hacemos una paralela por el punto de vista hasta que corta al plano del cuadro en el punto principal. La perspectiva de la recta es el segmento que va del punto principal a la traza de la misma.

Aquí tenemos la perspectiva cónica de la línea y el abatimiento de los dos planos, el geometral y el plano del horizonte.


Representación de una recta horizontal y oblicua respecto al plano del cuadro. El punto de fuga Fa de la recta estará sobre la línea del horizonte y la traza de la misma Ta estará sobre la línea de tierra. La perspectiva de la recta a que es la recta a ‘, recta que pasa por los puntos Fa Ta.


Representación de una recta oblicua a con su traza sobre el plano de cuadro y con su traza V sobre el plano geometral. Hacemos una paralela por el centro de proyección o punto de vista O hasta que corta al plano del cuadro en el punto Fa. La representación de la recta viene dada por los dos puntos Ta Fa. A continuación abatimos el plano del horizonte tomando como charnela la línea de horizonte que obtenemos el punto de vista abatido (O).

perspectiva a’ de la recta a, con la traza y fuga en la traza y fuga de un plano m. La proyección de la recta a sobre el plano geometral viene dado por la traza Ta y la intersección de la línea de horizonte y la recta límite del plano vertical lm.

Recta oblicua a perteneciente a un plano vertical con su perspectiva a’.

En la representación perspectiva se observa la perspectiva de la recta a que es el ser dentro comprendido entre Ta Fa , la proyección ortogonal sobre el plano del cuadro de V-Fa (P F son coincidentes en la proyección ortogonal del cuadro que coincide con el plano del papel) y de la recta a.

Perspectiva de una recta a horizontal. Por el centro de proyección O se traza una paralela y se obtiene el punto Fa. La recta a corta al plano del cuadro en el punto Ta. La perspectiva de la recta a es la recta a’. Se abate el plano geometral y la recta a se transforma en la recta (a). Se abate el plano horizontal tomando como eje de giro la línea de horizonte y el punto O se transforma en el punto (O)

Perspectiva a’ de la recta a y abatimientos del plano geometral y horizontal . Como hemos abatido el plano geometral observamos el ángulo que forma la recta abatida (a) con el plano del cuadro o lo que es lo mismo con la línea de tierra. Ese ángulo siempre será el mismo que el que forma la línea de horizonte LH y la recta O-Fa, ya que estas dos últimas rectas son paralelas a las dos anteriores.

Recta horizontal m paralela al plano del cuadro y a una distancia dada del mismo. Para calcular en perspectiva la posición exacta de la recta m, partimos del abatimiento de su proyección sobre el plano geometral. La intersección del plano vertical que contiene a la recta m con el plano vertical que contiene al punto de vista es la recta CD. La perspectiva del punto D’ se obtiene como intersección de la recta vertical con la recta (a). El punto c tiene su perspectiva de la misma manera. Para determinarlos se han trazado dos rectas paralelas a b que pasen por los puntos CD. La distancia vertical que hay entre estas dos rectas están en verdadera magnitud por estar en el plano del cuadro sus trazas y poseen un punto de fuga común por ser paralelas. La intersección de sus dos perspectivas con el plano vertical que pasa por el punto de vista genera las perspectivas C’D’de los puntos C D. Como la recta m es horizontal y paralela al plano del cuadro la perspectiva m’ de la misma también será horizontal y al mismo tiempo pasa por C’.

Aquí tenemos la perspectiva de la recta a de la que tenemos el abatimiento y por el centro de proyección una paralela y obtenemos su fuga. La recta que une la fuga de la traza es la perspectiva de la recta a, esto es a ‘. Tenemos en verdadera magnitud la altura a la que está la paralela b’ que corta al plano ortogonal y vertical al cuadro en el punto C’ por donde pasa la recta m’.














Representación de planos

Un plano oblicuo cualquiera en perspectiva cónica corta al plano del cuadro según una traza ta. Haciendo por el punto de vista O una recta paralela al plano tenemos que corta al plano del cuadro según la recta de fuga o límite l’a. La recta de fuga o recta límite es la línea de horizonte de ese plano. Por tanto un plano queda determinado por dos rectas paralelas: la recta que corta al plano del cuadro que es la traza y la recta de fuga, límite o de horizonte, que se obtiene al trazar por el punto de vista una paralela al plano hasta que corta al plano del cuadro.

Un plano de perfil es perpendicular a la línea de tierra por lo que su traza también lo es y su recta límite o de fuga es paralela a la misma e incidente en el punto principal P.

Representación de el plano de perfil con su traza vertical y su recta límite incidente en el punto P y en el punto de vista abatido (O).

Plano paralelo a la línea de tierra
que forma un ángulo dado con el plano horizontal. Siguiendo el procedimiento anterior hacemos por el centro de proyección o punto de vista una recta paralela al plano hasta que corta al plano del cuadro en una recta paralela a la traza del plano.


Plano paralelo a la línea de tierra en perspectiva cónica. Para obtener la pendiente que tiene se ha pasado un plano vertical por la línea PV y a continuación se ha girado 90°, con este abatimiento se muestra el ángulo que forma respecto al plano del cuadro.

Plano horizontal. Tiene su traza paralela a la línea de tierra y su línea de horizonte coincidente con la línea de horizonte del plano geometral, ya que planos paralelos tienen la misma recta de fuga.


Perspectiva cónica del plano con su traza paralela a la línea de tierra y su recta límite coincidente con la línea del horizonte de la perspectiva.

Plano de canto es aquel que tiene la intersección con el plano geometral perpendicular a la línea de tierra y que su traza es oblicua respecto a la misma línea. Por el punto de vista O hacemos una paralela al plano que como es perpendicular al plano del cuadro, esa paralela cortará a éste en el punto principal P. Por tanto la recta de horizonte del plano pasa por el punto principal y es paralela a la traza del mismo.

Representación cónica del plano con su traza y recta límite paralelas. La recta límite incidente con el punto principal P.












Representación de formas planas


Para representar la perspectiva de un cuadrado tenemos dos tipos de rectas: las ortogonales al cuadro como la recta b y las oblicuas como la recta a, ambas se cortan en un punto por donde pasan las líneas paralelas a la línea de tierra.
La perspectiva de la recta a viene dada por su traza que es donde corta el plano del cuadro, y por su fuga, obtenida al hacer por el punto de vista V una paralela hasta que corta en F en el plano del cuadro.
Para la perspectiva de la recta b tenemos que su traza, esto es, donde b corta al plano del cuadro, es la perspectiva de la recta y su fuga se obtiene al trazar una paralela por el punto de vista a la recta, por lo que es coincidente con el punto principal P. La intersección de las dos rectas nos da la perspectiva de un vértice del cuadrado. Por ese vértice pasa una recta horizontal con lo que tenemos ya la perspectiva de dos lados del cuadrado y de la diagonal. Los otros dos lados se hacen de la misma forma.

Aquí tenemos la perspectiva cónica del cuadrado amarillo que se transforma en el azul. Las rectas perpendiculares al cuadro pasan en la perspectiva por el punto principal P y tienen sus trazas a partir de las intersecciones de las rectas abatidas con la línea de tierra.
La profundidad a la que están los dos lados paralelos del cuadrado a la línea de tierra viene dada por la intersección de la recta oblicua a’ con las rectas ortogonales al plano del cuadro incidentes en la perspectiva en el punto principal P.


El mismo ejercicio anterior al que se ha añadido los arcos de circunferencia en color naranja y violeta para ver el abatimiento del punto de vista sobre el plano del cuadro y el abatimiento del cuadrado del plano geometral PG hasta hacerlo coincidir con el plano del cuadro.
Las rectas que son paralelas, en el plano del horizonte que pasa por el punto de vista, a las del plano geometral, al abatirlas siguen siendo paralelas ya que ambas giran 90° y en el mismo sentido por lo que el paralelismo es un invariante en estos dos planos abatidos de la proyección cónica.


Aquí observamos la perspectiva del cuadrado a la izquierda y una propiedad de la homología aplicada a la perspectiva cónica: que los puntos homólogos M y su abatimiento (M) están alineados con el centro de proyección que en este caso es el punto de vista abatido (V).
En el perfil derecho podemos observar que esta propiedad persiste en esta nueva proyección, los puntos homólogos también están alineados pero en este caso no será el abatimiento sino que es la proyección ortogonal del punto M, su perspectiva sobre el plano del cuadro proyectada en un perfil M’ y también la proyección ortogonal del punto de vista sobre ese mismo perfil.
Observamos que la perspectiva cónica de la figura es la proyección en el alzado de una transformación por homología y que en realidad podemos representar cualquier perspectiva partiendo de las vistas diédricas y proyectando las mismas sobre la perspectiva. Con ello se puede comprobar que en la figura del perfil, si sobre M’ hacemos una recta horizontal, ésta incide sobre la perspectiva del lado más cercano al punto de vista del cuadrado azul. Desde el perfil podemos proyectar la perspectiva de todos los puntos, cual facilita mucho la ejecución del dibujo algunos casos.




Para hacer la perspectiva de la circunferencia dibujamos el cuadrado que la contiene. La circunferencia es tangente al cuadrado en cuatro puntos lo que en la perspectiva supondrá que la elipse en la que se transforma, sea tangente en esos cuatro puntos.

La perspectiva cónica de la circunferencia parece una elipse deformada pero no lo es, el centro real de la elipse no coincide con el centro de la circunferencia en perspectiva, lo que hace parecer que su perspectiva no es una elipse perfecta. El eje mayor de la elipse no coincide con la línea horizontal del cuadrilátero que inscribe a la elipse pese a la curva entre tangente en los vértices de este diámetro.


Restitución perspectiva
Restituir una perspectiva es obtener la verdadera magnitud y forma de un objeto partiendo de una fotografía o dibujo del mismo. La restitución se aplica continuamente en fotogrametría.
Para obtener las vistas en sistema diédrico es necesario saber la verdadera magnitud de un segmento entre dos puntos.
Podemos deducir cómo es la figura teniendo en cuenta que todas las líneas perpendiculares al plano de la foto tienen su punto de fuga en el punto principal -proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro. Las líneas que forman 45° respecto al plano del cuadro tienen sus fugas sobre los puntos de distancia. Todas las rectas paralelas tienen un punto común y si son horizontales se cortan en el horizonte. Si se conocen un conjunto de rectas horizontales que son entre sí perpendiculares, los dos puntos de fuga de las rectas pasan por el horizonte y el punto de vista está sobre la circunferencia horizontal cuyo diámetro es el segmento comprendido entre los dos puntos de fuga.

Si es conocida la imagen A de un cuadrado, prolongamos sus lados dos a dos obteniendo las fugas F1 F2 por donde pasa el horizonte, si hacemos las diagonales se cortan en dos puntos del horizonte P1 P2.
La intersección de las dos semicircunferencias cuyos diámetros son las dos primeras fugas obtenidas F1 F2 y los dos puntos obtenidos de las diagonales P1 P2 es la localización del punto de vista V y su perpendicular a la línea de horizonte es la distancia del punto de vista V al plano del cuadro.

Incidencia

Incidir quiere decir estar en, pasar por, pertenecer a, estar incluido en...
Una recta incide en un plano cuando está contenida en el.
Un punto incide en un plano cuando está en una recta del plano
La recta a perteneciente al plano azul b corta en el plano del cuadro en la traza Ta y por pertenecer al plano la traza de la recta Ta está en la traza del plano tb. Si por el centro de proyección o punto de vista V hacemos un plano paralelo k (en color verde) al plano dado obtendremos en la intersección con el plano del cuadro PC la recta de fuga del plano fb.
Como la recta pertenece al plano todos sus puntos están sobre él, de ahí que la traza esté sobre la traza del plano y el punto de fuga de la recta esté sobre la recta de fuga del plano. Ambos elementos inciden, traza sobre traza y fuga sobre fuga, ya que la traza es un punto del plano del cuadro y será común en la recta y en el plano, y lo mismo pasa con el punto de fuga y la recta de fuga del plano, ambos son los elementos imagen de sus correspondientes en el infinito por lo que ambos inciden.
Si un punto está sobre un plano, la imagen o perspectiva de ese punto está sobre una recta imagen del plano. La localización de un punto de la recta del plano puede estar detrás del plano del cuadro (N) o delante (R).
R’ es la imagen del punto de la recta R, perteneciente éste por tanto al plano por estar en la recta del plano.




Aquí vemos el ejercicio resuelto en sistema diédrico, en planta tenemos proyectado ortogonalmente sobre el plano rojo o plano geometral el plano azul dado b y la recta a que incide sobre el punto N.
Por el punto de vista se ha hecho un plano paralelo al plano azul (de color verde) y a la recta, obteniendo así la recta de fuga y punto de fuga del plano y de la recta, respectivamente.
En el perfil hemos hecho lo mismo, un plano paralelo al azul y una recta paralela a la que pertenece al plano obteniendo el punto de fuga Fa de la misma.
Los elementos obtenidos en la planta y alzado se pueden proyectar ortogonalmente sobre la vista en el alzado (sobre el plano amarillo). Así, si tomamos el punto de fuga en la planta y en el perfil proyectando una vertical y horizontal respectivamente obtendremos la fuga de la recta Fa. Lo mismo vale para los demás elementos.
En el alzado tenemos la proyección ortogonal de todos los elementos y su representación en perspectiva. Así la recta a sobre el alzado tiene el punto N sobre ella y la imagen o perspectiva de ese punto N’ se obtiene alineando el mismo con el centro de proyección V. La intersección de esta recta con la perspectiva de la recta a’ nos da el punto N’. Lo mismo pasa con el otro punto R’ que está entre el plano del cuadro, imagen del que está sobre la recta R.














En el dibujo podemos observar una representación espacial de la perspectiva cónica con sus elementos: el círculo de distancia CD que queda determinado por su centro P o punto principal, que es la proyección ortogonal del punto de vista V sobre el plano del cuadro PC, en color amarillo. La distancia del punto principal al punto de vista es en realidad el radio del círculo de distancia P- (V), de ahí que si lo abatimos, el punto de vista batido (V) quedará siempre sobre puntos de la circunferencia del círculo de distancia.
La perspectiva de una recta a queda determinada por su traza Ta o punto de corte al plano del cuadro y por su punto límite, que se obtiene haciendo por el punto de vista una paralela a ella hasta que corta al plano del cuadro en ese punto L’a. Tenemos un punto M que pertenece a la recta y por lo tanto la perspectiva de él, M’, está sobre la perspectiva de la recta, esto es a’.
El ángulo que aparece en color verde es el que forma la perspectiva de la recta a’ y la recta a, pero no es el que forma la recta con el plano del cuadro.
Para determinar el ángulo que forma la recta a con el plano del cuadro PC hacemos por el punto de vista V una paralela a la recta a ésta que corta al plano del cuadro en el punto límite de la recta L’a. Uniendo este punto L’a con el punto principal P tenemos una recta que junto a la anterior L’a-V determina el ángulo entre la recta ay el plano del cuadro PC (este ángulo aparecen el dibujo en color gris con una textura de líneas paralelas).
Podemos abatir este ángulo para observarlo en la perspectiva cónica en verdadera magnitud, (en el dibujo aparece el ángulo abatido en color azul). Para abatirlo hacemos un giro del triángulo formado por los tres vértices V-P-L’a, tomando como eje de giro los dos últimos puntos señalados P-L’a.


Aquí tenemos la perspectiva cónica combinada con la proyección ortogonal, el sistema diédrico con el alzado y el perfil de los elementos. A la izquierda en color amarillo tenemos el plano del cuadro PC con su círculo de distancia en color gris, y a la derecha tenemos el perfil del plano del cuadro PC transformado en una línea con el punto de vista V y punto principal P sobre el plano del cuadro y el perfil de la recta a y sus elementos.
Tenemos a la izquierda en color amarillo la perspectiva de la recta a’ determinada por su traza Ta y su punto límite L’a, uniendo el punto principal P con el punto límite tenemos una dirección que utilizamos para hacer una recta que pase por la traza de la misma Ta. Esta dirección a es en realidad la proyección ortogonal de la recta en el espacio sobre el plano del cuadro y queda en el dibujo señalada con la letra a.
Si unimos el punto principal P con el punto límite L’a y hacemos un giro del triángulo que pasa por este eje y por el punto de vista V, en el abatimiento de este triángulo obtenemos el ángulo s que es el que forma la recta a con el plano del cuadro.
Si utilizamos la dirección definida por el punto principal P y el punto límite de la recta L’a como dirección que pasa por la traza del plano que vamos a utilizar para abatir la recta (un plano perpendicular al plano del cuadro de que tiene sus recta límite sobre el punto principal), la dirección de la recta abatida (a), es la misma que la dirección del punto de vista abatido (V) unido con el punto límite L’a de la recta.
Si alineamos el punto de vista abatido (V) con la perspectiva del punto M’ observamos que su prolongación intercepta a ese punto abatido (M) sobre la recta abatida (a), esto quiere decir que los tres puntos (M) M’ (V) están alineados. De la misma manera el punto principal queda alineado con el punto de la recta y su perspectiva, esto es, los puntos M M’ P están alineados.
En el perfil dibujamos a la derecha de la figura con el fondo blanco, el punto principal sobre el plano del cuadro y su distancia el punto de vista, que sería el equivalente al polo de la esfera del centro P y radio PV. Proyectamos la traza de la recta de la perspectiva al plano del cuadro en perfil y hacemos lo mismo con el punto límite, uniendo el punto de vista con el punto límite tenemos la dirección de la recta en el perfil, dirección que utilizamos para trazar la recta a en el perfil por la traza de la recta Ta sobre plano del cuadro. Proyectamos también la perspectiva del punto M’ sobre el plano del cuadro y alineamos este punto con el punto de vista V y en su prolongación obtenemos el punto M en el perfil, en la intersección con la recta a.
Utilizando el perfil tenemos mejor localizados los elementos que sólo con la representación en perspectiva y alzado de la izquierda.
Por ejemplo, si bien los ángulos en el perfil que aparecen dibujados no están ninguno en verdadera magnitud, sí tenemos la distancia del punto M al plano del cuadro en verdadera magnitud.












Se trata de dibujar el plano que pasa por una recta m y un punto Z.
La recta m del enunciado del ejercicio aparece en el dibujo de color rojo y el punto aparece sobre una recta azul oscura p.
Primero pasamos por Z una recta paralela x a la recta dada m, esta recta de color azul junto con la de color rojo determinan un plano que aparece en el dibujo de color marrón determinado por su traza y su recta límite.
Para hacer una recta paralela a la recta dada m hacemos una línea que pase por Z’ y por el punto límite de la recta dada L’m.
Para determinar la traza de esta recta x tenemos que como la recta corta a la recta de color azul oscuro, determinan un plano, por lo que sus trazas estarán sobre la traza del plano en una línea paralela a sus puntos límites que estarán sobre la recta límite del plano.
Unimos entonces el punto límite de la recta roja con el punto límite de la recta azul oscuro. Siguiendo la misma dirección por la traza de la recta azul hacemos una recta paralela hasta que corte a la recta azul clara, en este punto de intersección tenemos la traza de la recta azul. Teniendo la traza de la recta roja y la traza de la recta azul, unimos estos puntos con una recta que es la traza del plano que contiene a ambas y por el punto límite de ambas hacemos una paralela a la traza de este plano marrón, obteniendo de esta forma la recta límite del plano que contiene a la recta y el punto dados.

En el dibujo podemos observar que efectivamente el plano definido por su traza y recta límite en color marrón contiene a la recta m y al punto Z. Como datos teníamos la recta de color roja m y el punto Z por el que trazamos una recta paralela x hasta obtener la traza de la misma Tx.
El punto límite de esta recta x es el mismo que de la recta dada m por ser paralelas, y para obtener su traza nos valemos de la recta p que contiene al punto Z, unimos el punto límite de la p con el punto límite de la recta x, y esta dirección nos determina al pasar por la traza de p la intersección con la recta x que es la traza de la misma. El plano buscado pasará por la traza de la recta m y por la traza de la recta x, ya que las dos rectas son paralelas y la recta x pasa por el punto dado Z

En el dibujo observamos la resolución del ejercicio en perspectiva cónica. Como datos tenemos el punto Z y la recta de color rojo m’.
Hacemos por Z una recta paralela a la recta de color rojo, esto es una recta que tenga el mismo punto límite que la recta roja. Unimos los puntos límites de las rectas dadas p m, esto es, la recta roja y la recta de color azul oscuro que es la que contiene al punto Z y por la traza de la recta azul oscura Tp hacemos una paralela a esa dirección hasta que corta a la recta de azul claro en Tx. El punto de corte es la traza de la recta azul claro, que unida con la traza de la recta roja tenemos la traza del plano que contiene a ambas m x y al punto Z. Por el punto límite de ambas L’m hacemos una recta paralela a la traza del plano y tenemos ya determinado el mismo.







Otra forma de resolver el ejercicio anterior:
En el dibujo se puede ver el plano azul que contiene a la recta roja m y a la recta de color azul claro x. Se puede observar también que el punto pertenece a los dos planos, al anterior representado por su traza y recta límite de color marrón y al plano verde, que es el plano que determinan las rectas de color azul claro y azul oscuro. Como la recta x pertenece a los dos planos, es la recta de intersección de los mismos y sobre ella está el punto Z.
Vamos a resolver el ejercicio partiendo de una proyección auxiliar, por ejemplo el perfil.

Se representan en el perfil las rectas dadas, esto es, la recta roja m y la recta azul oscuro p que contiene al punto Z. Por Z representado en el perfil se hace una recta paralela x a la recta roja m. Esta recta corta al plano del cuadro en el perfil según su traza, Tx. Por esta traza hacemos una línea horizontal s para proyectarla sobre el alzado de la perspectiva (en color amarillo) este punto. En la perspectiva tenemos que la recta x está definida por el punto límite de la recta roja L’m y por el punto dado Z’. Prolongamos esta línea hasta que corta a la proyección horizontal s en lo que es la traza de la recta Tx. Como la recta azul clara x es paralela a la recta roja, tenemos que el punto límite o de fuga es común en ambas, esto quiere decir que por la proyección del punto de vista, o punto principal V’, unimos este punto límite L’m con el punto de vista proyectado sobre el plano del cuadro, teniendo la dirección de la recta en el alzado en proyección ortogonal.
Por la traza de la recta Tx hacemos una paralela a la dirección V’-L’m. Esta dirección en el alzado y proyección ortogonal sobre el plano del cuadro, es la representación de la recta x, como se ve en el dibujo, es la recta de intersección de los dos planos, el azul y el verde.













Dados dos puntos situados sobre rectas distintas, calcular la recta que incide sobre ellos y la traza y el punto límite de la misma. Dados dos puntos M N situados sobre dos rectas en color azul y violeta respectivamente, determinar la recta (en color rojo en el dibujo) que pasa por los dos puntos.
En el dibujo parecen las tres rectas representadas en el espacio, con sus proyecciones en perspectiva sobre el plano del cuadro.



Para construir el ejercicio en perspectiva cónica, nos llega con proyectar otra vista, como por ejemplo el perfil, no obstante representamos también la planta con la posición relativa de las tres rectas para que se entienda mejor el ejercicio.
Tenemos la representación en el alzado de las tres rectas dadas en perspectiva, sabemos que al unir el punto de vista con sus puntos límites tenemos una dirección, que si la utilizamos por la traza de cada recta tenemos la proyección ortogonal de la recta del espacio sobre el plano del cuadro. No es un dato que sea necesario para resolver cuestión alguna, no obstante se representa para ver la alineación que existe entre los puntos dados en la perspectiva N’ M’ y su representación espacial sobre el alzado, respectivamente los puntos N M.
Como son elementos prospectivos están alineados con la proyección del punto de vista sobre el plano del cuadro, esto es con el punto principal (M M’ P están alineados porque esta es una recta que es proyección ortogonal sobre el plano del cuadro de la alineación entre los dos puntos y el punto de vista).
Representamos en el perfil de las tres rectas con sus direcciones y los puntos M N por donde pasa la nueva recta a.
Esta recta corta al plano del cuadro en un punto del perfil sobre la traza. Hacemos una recta horizontal por este punto hasta que corte a la perspectiva a’ de la recta. En este punto de intersección tenemos la traza de la recta Ta, si queremos calcular el punto límite de la misma hacemos una paralela en el perfil a la recta representada en el perfil en color rojo y dónde corta al plano del cuadro hacemos una horizontal hasta que corte en el alzado a a’ en L’a.

Intersecciones

Todo plano queda determinado por su traza y su recta límite o de fuga. La traza es donde el plano corta al plano del cuadro y la recta límite es la intersección del plano paralelo al anterior que pasa por el centro de proyección o punto de vista V con el plano del cuadro.
Como las dos trazas de dos planos tm tn que se cortan en el punto Ts están en el plano del cuadro, ambas se cortarán en un punto de la recta de intersección S de ambos planos.
De igual manera las rectas de fuga que son las homólogas del infinito de ambos planos, esto es, la perspectiva de las rectas del infinito de los planos, también se cortan en un punto del plano del cuadro L’s y es la imagen del punto del infinito de la recta intersección de ambos planos.
Dos planos m n se cortan según una recta s, para calcular la intersección de los mismos, se trazan planos paralelos a b por el centro de proyección o punto de vista V a ambos planos, donde estos planos (de color verde) corten al plano del cuadro tenemos las rectas límites o de fuga l’m l’n de ambos planos.
Las trazas de los planos se cortan en un punto y las rectas límites se cortan en otro punto, ambos puntos determinan la recta de intersección de ambos planos.



En este dibujo tenemos la proyección central de los dos planos definidos por sus trazas y sus rectas límites. La intersección de las dos trazas tm tn es un punto Ts de la recta intersección y la intersección de las dos rectas límites L’s es otro punto de la recta intersección s’. La perspectiva de la recta intersección s es la recta s’.
Para determinar la proyección ortogonal de esa recta unimos el punto límite de la recta L’s con el centro de proyección V y por la traza de la recta Ts hacemos una paralela s a la anterior V-L’s, esta paralela s es la proyección ortogonal de la recta de intersección de los dos planos.




Si dos rectas a b se cortan determinan un plano, por lo tanto un plano definido por su traza y su recta límite contiene a las trazas de las rectas Ta Tb sobre la traza del plano y a los puntos de fuga Fa Fb o puntos límites de las rectas sobre la recta límite del plano.
En el dibujo tenemos dos rectas azules a b que se cortan y por tanto definen un plano.
Por las trazas de ambas rectas Ta Tb pasa la traza de un plano, hacemos por el centro de proyección V dos paralelas a ambas rectas hasta que cortan al plano del cuadro en 2 puntos que son los puntos de fuga Fa Fb. Estos puntos de fuga los unimos con las trazas de las rectas y obtenemos la perspectiva de ambas que se cortan en el punto I’, homólogo del punto de intersección I de las rectas.




En el dibujo tenemos un plano con su traza y su recta límite. La traza del plano contiene o está definida por las dos trazas de las rectas Ta Tb de color azul a bque se cortan en un punto I. Por el centro de proyección V hemos hecho paralelas a ambas rectas hasta que corten a la recta de fuga del plano en los puntos de fuga de las rectas Fa Fb. Si unimos cada punto de fuga con cada traza de la recta tenemos la imagen en perspectiva de ambas rectas a’ b’ que se cortan en un punto I’ que es la perspectiva o imagen del punto de intersección de las rectas azules I. De esta manera el punto de intersección I está alineado con su perspectiva I’ y con su centro de proyección o punto de vista V.



Un plano b (en el dibujo de color azul) queda determinado por su traza tb y su recta límite l’b. En el espacio la traza tb como ya sabemos es la recta de intersección con el plano del cuadro mientras que la recta límite se obtiene haciendo un plano paralelo por el centro de proyección V hasta que corta al plano del cuadro en una recta l’b, que es la recta límite. En el dibujo traza y recta límite del plano aparecen de color rojo.
Para calcular la intersección de una recta a con el plano b se traza un plano g por la recta y en la intersección de ambos planos tenemos una recta i que corta a la dada en un punto H y éste es el punto de intersección. La recta a esta definida por su traza Ta y su punto límite L’a, como ya sabemos la traza es donde corta el plano del cuadro y el punto límite es la intersección de una paralela a la recta por el centro de proyección V con el plano del cuadro. Por la recta a se ha pasado un plano g cualquiera que la contiene, hemos determinado la intersección de ambos planos cogiendo el punto de intersección de las trazas de ambos y el punto límite de las rectas límites de ambos. Éstos puntos determinar una recta i que corta a la dada en el punto H, cuya perspectiva es el punto H’.



Aquí tenemos la representación diédrica y en perspectiva del ejercicio anterior. Tenemos la planta y el perfil de la recta y el plano con la orientación de ambas. Tenemos en el alzado de color amarillo la representación ortogonal de los elementos que hemos proyectado desde la planta y desde el perfil y de las imágenes en perspectiva de ellos. El plano b que determinado por su traza y su recta límite y la recta determinada por su traza y su punto límite. Por la recta pasamos un plano con cualquier orientación, esto quiere decir que por su traza y su punto límite hacemos dos rectas paralelas que son la traza y recta límite del plano que la contiene. Ambas rectas cortan a la traza y recta límite del plano dado según una recta que corta a la dada en un punto y es el de intersección de la recta y el plano.

Paralelismo

Si dos rectas a b son paralelas tienen un punto de fuga en común Fa Fb. Efectivamente, como las rectas son paralelas se cortan en el infinito y la imagen de este punto del infinito es el punto de fuga de ambas. Para trazarlo en perspectiva cónica hacemos por el centro de proyección V una paralela m a las rectas y donde corte al plano del cuadro PC tenemos la fuga de ambas Fa Fb, coincidente, ya que las rectas a b son paralelas. Éste punto se une con las trazas de las dos rectas Ta Tb obteniendo así la imagen en perspectiva a’ b’ de las dos.





En este dibujo en sistema diédrico combinado con sistema cónico observamos el dibujo anterior resuelto en el espacio.
En el plano rojo tenemos la planta con las dos rectas paralelas a b y el punto de vista V por el que se hace una recta paralela a ambas obteniendo así la fuga Fa Fb sobre el plano del cuadro en planta.
En el perfil tenemos de la misma manera la proyección ortogonal de las dos rectas y por el punto de vista una paralela a ambas hasta que corta al plano del cuadro en el punto de fuga de ambas.
Tenemos también en el alzado un plano amarillo con la proyección ortogonal de las rectas a1 a2 y por la proyección del punto de vista coincidente con el punto principal P se hace una paralela a ambas hasta que corta al plano del cuadro. Para saber en qué punto lo corta no tenemos más que levantar por la fuga de las rectas en planta, una vertical hasta que corte en el alzado a esa paralela a las dos proyecciones ortogonales de la recta a y la recta b. Tenemos entonces la perspectiva de las dos líneas que siempre serán dos rectas concurrentes en el mismo punto de fuga.





En el dibujo tenemos dos planos paralelos m n de los que se trata de hacer la perspectiva.
Por el centro de proyección o punto de vista V hacemos un plano paralelo hasta que corte al plano del cuadro en la recta límite o recta de fuga de ambos planos l’m l’n. Como por el punto de vista hemos trazado un plano paralelo, éste cortará al plano del cuadro según una recta paralela a las trazas de los dos planos.
Las trazas de los dos planos son las rectas donde los planos cortan al plano de proyección o plano del cuadro. Por tanto se tiene que dos planos paralelos tienen sus trazas distintas (no coincidentes ya que sino serían los dos el mismo plano) y por el centro de proyección se hace un plano paralelo obteniendo la recta de fuga o recta límite común a ambos.




Aquí tenemos el ejercicio resuelto el sistema diédrico. Por un lado en planta (en el dibujo de color rojo) tenemos los dos planos paralelos m n y por el punto de vista se ha hecho otro plano paralelo a ambos. Podemos observar el mismo dibujo representado en el perfil. De igual forma sobre el plano amarillo en el alzado tenemos la representación ortogonal de los dos planos con sus trazas tm tn que es donde cortan al plano del cuadro (el plano amarillo) y por V un plano paralelo a ambos hasta que corta al plano del cuadro en la recta límite o de fuga de ambos l’m l’n.
Por lo tanto si dos planos son paralelos tienen sus trazas y recta límite o de fuga paralelas.




Si una recta a es paralela un plano m tiene su punto de fuga Fa sobre la recta de fuga o límite de ese plano l’m. El plano queda representado por su traza o recta de corte con el plano del cuadro tm y por su recta límite l’m. La recta exterior tiene su traza Ta o punto de corte en el plano del cuadro exterior a la traza del plano ya que sino estaría contenida en él y tiene su punto de fuga Fa sobre la recta límite l’m o de fuga del plano.
Por tanto para que una recta sea paralela a un plano basta con que tenga su punto de fuga sobre la recta de fuga del plano.




Observamos en sistema diédrico la proyección ortogonal del plano m y la recta a en planta, alzado y perfil. En el alzado podemos ver al mismo tiempo la representación en perspectiva de los dos elementos. El plano representado por su traza tm y por su recta límite o de fuga l’m, y la recta representada por su traza Ta y su fuga Fa. Como el punto de fuga de la recta está sobre la recta límite del plano quiere decir que es paralela a él.