Ángulos

Ángulo entre dos planos
Para calcular el ángulo entre dos planos se construye un plano perpendicular ambos. El plano construido deberá ser perpendicular a la recta intersección de ambos planos.
Calculamos la recta de intersección a de ambos planos y hacemos un plano perpendicular a la misma.
Para hacer un plano perpendicular a la recta de intersección tenemos que su recta límite será el antipolo Ñ del punto límite de la recta L’a. Esto quiere decir que todos elementos límites están alineados en una perpendicular que pasa por el punto principal P, y se tiene que estos dos puntos unidos con el punto de vista abatido (V) forman rectas que en el espacio son ortogonales (el punto límite L’a y puntos de vista (V) unidos por un segmento es perpendicular al punto de vista abatido (V) y el antipolo Ñ.
El plano perpendicular a la recta de intersección de los dos planos tiene su traza ts en cualquier punto aunque siempre paralela a su recta límite l’s.
A continuación calculamos la intersección del plano perpendicular a la recta s con los dos planos dados h g. El ángulo que forman estas dos rectas de intersección m n es el ángulo que forman los dos planos.
Para saber el ángulo que miden en verdadera magnitud basta con abatirlas. Para abatirlas unimos el punto de vista abatido (V’) con los puntos límites de estas rectas en el dibujo de color verde y perspectivas de las rectas m n. El ángulo que forman estas dos líneas es el ángulo que forman los dos planos.


El ejercicio anterior está constituido por dos planos dados y otro calculado que es perpendicular a su intersección, estos tres elementos constituyen un triedro que corta al plano del cuadro según un triángulo azul.
Como por el punto de vista hemos hecho dos planos paralelos a los dados obteniendo así sus rectas límites y el plano perpendicular a la intersección de estos dos, tenemos otro triedro igual o proporcional al anterior pero girado 180°.
En el dibujo vemos la configuración de los elementos en el sistema diédrico unido a la perspectiva que se acaba de explicar.




Tenemos los dos planos h g definidos por sus trazas y sus rectas límites y el punto principal P y el círculo de distancia de racio PV.
Calculamos la intersección de los dos planos dados y tenemos una recta a a la que hacemos un plano perpendicular s. Éste plano tendrá su recta límite en una perpendicular por el antipolo Ñ a Ta-P, esto quiere decir que la recta límite l’s del plano será perpendicular a la recta que une el punto límite de la recta de intersección L’a y el punto principal P.
Una vez que tenemos un plano perpendicular s a esta recta calculamos su intersección con los dos planos dados h g y tenemos dos rectas (en color verde) cuyo ángulo que forman es el ángulo que forman los planos. Las rectas de intersección verdes están determinadas por los puntos de intersección de las trazas th tg y por los puntos de intersección de las rectas límites l’h l’g.
A continuación unimos los puntos límites de las rectas verdes con el punto de vista abatido (V2’), estas dos rectas definen el ángulo de los dos planos marcado en color verde.







Para calcular el ángulo entre dos rectas que se cruzan a b, se hace una recta m paralela a una de ellas a y que al mismo tiempo corte a la otra b. Esta recta paralela a la primera y que corta a la segunda determina con la segunda un plano (en el dibujo de color azul). Abatimos el plano azul y observamos el ángulo que forman en verdadera magnitud (en el dibujo aparece de color rojo).
Las rectas dadas están definidas por sus trazas y sus puntos límites. Hacemos una recta paralela a la recta dada a’ y por lo tanto tendrá con ella común el punto límite.
La traza de esta última rectas se hace al azar y se alinea con la traza de la recta b, por el punto límite de las recta m se hace una recta paralela a la traza del plano que es la que definen las dos trazas de las rectas y obtenemos la recta límite del plano.
A continuación abatimos el plano para obtener el ángulo que forman dos rectas.
Para abatir el plano se hace una recta perpendicular desde el punto principal a la recta límite del plano y se prolonga hasta que corte al arco cuyo centro está en la intersección de esta perpendicular con la recta límite l’g y cuyo radio es la recta s, o distancia desde el punto de vista a la recta límite del plano.


Tenemos las dos rectas dadas a b que se cruzan y el punto principal P y círculo de distancia de radio P-(V2). Se pide calcular el ángulo que forman las dos rectas dadas. Hacemos una recta m paralela a la recta a, esto es, una recta cualquiera cuyo punto límite coincida con la del anterior.
Escogemos su traza al azar para la recta m y la alineamos con la traza de la recta dada b, esta recta determina la traza del plano tg.
Por el punto límite de la recta m hacemos una paralela a la traza del plano l’g. El ángulo que forman estas dos rectas b m es el mismo ángulo que forman las dos rectas dadas a b.
Para calcular este ángulo se pasa por el punto principal P una recta perpendicular a la recta límite del plano, l’g. Esta recta perpendicular a la límite l’g tiene como intersección el punto K en el que se hace centro con un arco de circunferencia cuyo radio es la distancia desde el punto K hasta el punto de vista abatido, esto es K-(V2).
La intersección de este arco con la perpendicular determina el punto (V2’). Unimos este punto con los puntos límites de las dos rectas que están en el plano L’b L’m.
El ángulo que forman estas dos rectas b m es el mismo que el ángulo que forman las dos rectas dadas a b e igual que las rectas abatidas a partir de las trazas (b’) (m‘).
En la ilustración el ángulo en verdadera forma aparece de color rojo en ambos casos.


Como se venía haciendo hasta ahora, a parte de la perspectiva cónica o proyección central del ejercicio, representamos en planta y alzado todos los elementos, de esta manera observamos la relación que existe entre la proyección ortogonal de los mismos y su perspectiva cónica.
Si cogemos una recta cualquiera, por ejemplo la perspectiva de la recta m, esto es m’, y unimos P con su punto límite L’m, observamos que al hacer por la traza Tm una paralela a esta dirección tenemos la proyección ortogonal de la recta en alzado m2.
Si cogemos esta misma recta y unimos el punto de vista abatido (V2’) respecto al plano que la contiene con el punto límite de las rectas m, al hacer un abatimiento del plano que la contiene, tenemos que la recta abatida es paralela a la dirección que determina el punto límite y el punto de vista abatido.








Ángulo entre recta a y plano g.

Para calcular el ángulo que forma una recta a y un plano g, cogemos un punto de esta recta y hacemos por él una perpendicular m al plano g. Esta recta corta al plano en un punto P, este punto lo unimos con el punto de intersección I de la recta dada a y el plano dado g, obteniendo de esta manera una nueva recta x que forma con la recta a dada un ángulo. El ángulo entre estas dos rectas (en color rojo ya abatido) es el ángulo que forma la recta y el plano dados.

Para resolver el ejercicio en perspectiva cónica hacemos primero una recta m que pase por un punto cualquiera de la recta dada a, esto quiere decir que si se cortan las dos (a m) forman un plano f, al mismo tiempo debemos hacer que esta recta m sea perpendicular al plano dado g.
Si la recta es perpendicular al plano los elementos límites de ambos (L’m l’g) se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia. Si tenemos ya el punto límite de la recta L’m, sólo tenemos que unirlo con el punto límite de la recta dada L’a y esa dirección es la que corresponde a la traza del plano tf que contiene a ambas, esto quiere decir que por la traza ta de la recta a dada hacemos una paralela a la recta límite l’f y obtenemos la traza de la recta m perpendicular al plano.
Para calcular la intersección de la recta m con el plano pasamos un plano w por la recta hasta que corte al plano dado g. La intersección de los dos planos j determina una recta que corta a la recta m en el punto de intersección P.
Calculamos la intersección de la recta dada a con el plano dado g por el mismo procedimiento, obteniendo como punto de intersección I.
Si unimos PI tenemos una nueva recta x que forma con la recta dada a un ángulo, este ángulo es el mismo que forma la recta dada y el plano dado.
Hacemos un abatimiento de las rectas a x y del punto de vista (V) y obtenemos el ángulo que forman ambas, que es el ángulo de la recta y el plano (en color rojo).